连续流动反应器^[1]是一种能让反应物料连续均匀地流入并且反应产物也能连续地从反应器中流出的装置，主要应用于有机合成、药物开发、分析科学及石油化工等领域。连续流动反应器有很多类型，包括连续流动微反应器^[2]、连续流动管式反应器、连续流动釜式反应器和固定床反应器等。在很多情况下与间歇反应器相比，连续流反应器可以缩短反应时间，提高反应选择性，使合成过程更加安全绿色^[3]。有机反应大多对反应温度有一定的要求，而微波加热则是提高反应物温度的一个较好的选择。微波加热由于其加热速度快、能量利用率高等优点，在化学工业中被广泛运用^[4]。微波加热存在最重要的2个问题，一是微波穿透深度小，二是加热均匀性不高。虽然微波的穿透深度很小，但当微波加热与物料流动相结合，这一问题也被消除^[5]。而加热均匀性的提高方法，例如改变反应物位置和形状^[6]、改变反应器局部结构^[7-8]、在反应器内设置转盘^[9-11]或者搅拌器^[11-12]等，也被国内外许多研究者所研究。

目前对于连续流微波反应器，很多学者研究了流场对温度场的影响，而对电磁场对温度场的影响讨论较少。为了提高连续流微波反应器的物料温升以及加热均匀性，本研究设计了一种具有特殊形状管道的连续流动矩形微波反应器，重点讨论了连续型微波反应器电磁场对温度场的影响，使用COMSOL多物理仿真软件，通过改变物料流速、馈口功率、管道高度和馈口高度等参数研究连续流动矩形微波反应器加热效果和加热均匀性的变化规律，通过分析仿真结果，得出一系列可以用于提高连续型矩形微波反应器加热效果和加热均匀性的结论。

1 研究方法 1.1 研究对象及模型

本研究设计了一种具有特殊管道形状的连续型微波反应器，工作流量为0.1~0.3 L ·min^-1。将腔体形状设计为可以呈现多种模态的矩形腔体，腔体的模式谱线分布图如图 1所示。波导选择矩形波导，工作频率确定为2.45(±0.1) GHz。由于微波穿透深度的限制，现将管径设计为12 mm。为满足流量与停留时间的要求，确定具有特殊形状的管道长度为928 mm，物料的流速范围为0.015~0.030 m ·s^-1。模型具体尺寸见图 2。

如图 2所示，连续型矩形微波反应器的腔体长a=314 mm，高b=195 mm，宽c=295 mm。特殊形状管道尺寸为d₁=100 mm，d₂=207 mm，管道弯处半径r₁=30 mm，r₂=40 mm，管道中心距离腔体高度中心的距离为h₀，馈口中心距离腔体高度中心的距离为h₁。模型波导为BJ-22国家标准型号波导，微波频率为2.45 GHz，端口为横电TE10模。

1.2 模拟方法

连续流动微波反应器涉及的物理场包括电磁场、流场以及温度场，对其仿真分析时需要将相应的数学模型进行耦合计算。

微波反应器中电磁场的分布一般由麦克斯韦方程组进行描述^[13-14]，它的微分形式为：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\nabla \times \vec H\left( {\vec r, t} \right) = {\rm{ }}\frac{\partial }{{\partial t}}\vec D\left( {\vec r, t} \right) + \vec J\left( {\vec r, t} \right)}\\ {\nabla \times \vec E\left( {\vec r, t} \right) = {\rm{ }}\frac{\partial }{{\partial t}}\vec B\left( {\vec r, t} \right)}\\ {\nabla \times \vec D\left( {\vec r, t} \right) = \rho \left( {\vec r, t} \right)}\\ {\nabla \times \vec B\left( {\vec r, t} \right) = 0} \end{array}} \right. $

(1)

式(1)中：${\vec D}$表示电位移矢量；${\vec B}$表示磁感应强度；${\vec H}$表示磁场强度；${\vec J}$表示电流密度；${\vec E}$表示电场强度；ρ表示电荷密度；(${\vec r}$, t)表示变量为时间t和空间位置r的函数。

电磁加热的热源主要来自于电阻损耗和磁损耗，即：

$ {Q_{\rm{e}}} = {Q_{{\rm{rh}}}} + {Q_{{\rm{ml}}}} $

(2)

其中电磁损耗的表达式为：

$ {Q_{{\rm{rh}}}} = \frac{1}{2}Re(\vec J{\rm{ }}\cdot\vec E{^*}) $

(3)

磁损耗的表达式为：

$ {Q_{{\rm{ml}}}} = \frac{1}{2}Re(i\omega \vec B{\rm{ }}\cdot\vec H{^*}) $

(4)

电磁加热的耦合控制方程可以表示为：

$ \rho {C_p}\frac{{\partial T}}{{\partial t}} + \rho {C_p}\vec u{\rm{ }}\cdot\nabla T = \nabla \cdot\left( {k\nabla T} \right) + {Q_{\rm{e}}} $

(5)

式(5)中：其中ρ为密度，kg ·m^-3；C_p为恒压热容；k为导热系数；${\vec u}$是流体速度场，m ·s^-1。

流体流动要遵守基本的物理守恒定律，包括质量守恒定律、动量守恒定律^[15]。

质量守恒方程：

$ \frac{{\partial \rho }}{{\partial t}} + \frac{{\partial \left( {\rho u} \right)}}{{\partial x}} + \frac{{\partial \left( {\rho v} \right)}}{{\partial y}} + \frac{{\partial \left( {\rho w} \right)}}{{\partial z}} = 0 $

(6)

动量守恒方程：

$ \frac{{\partial \left( {\rho u} \right)}}{{\partial t}} + {\rm{div}}\left( {\rho u\mathit{\boldsymbol{u}}} \right) = {\rm{div}}(\mu gra{\rm{d}}u) - \frac{{\partial \rho }}{{\partial x}} + {S_{\rm{u}}} $

(7)

$ \frac{{\partial \left( {\rho v} \right)}}{{\partial t}} + {\rm{div}}\left( {\rho v\mathit{\boldsymbol{u}}} \right) = {\rm{div}}(\mu gra{\rm{d}}v) - \frac{{\partial \rho }}{{\partial y}} + {S_{\rm{v}}} $

(8)

$ \frac{{\partial \left( {\rho w} \right)}}{{\partial t}} + {\rm{div}}\left( {\rho w\mathit{\boldsymbol{u}}} \right) = {\rm{div}}(\mu gra{\rm{d}}w) - \frac{{\partial \rho }}{{\partial z}} + {S_{\rm{w}}} $

(9)

式(6)~式(9)中：ρ、u、u、v、w、p、t、μ分别指密度、速度矢量、速度矢量在x方向的分量、速度矢量在y方向的分量、速度矢量在z方向的分量、流体微元体上的压力、时间和动力黏度；S_u、S_v和S_w是动量守恒方程的广义源项。

经计算，本研究物料流动状态为层流，层流状态下的流体传热控制方程为：

$ \frac{\partial }{{\partial t}}\left( {\rho T} \right) + {\rm{div}}\left( {\rho \mathit{\boldsymbol{u}}T} \right) = {\rm{div}}\left( {\frac{k}{{{C_p}}}{\rm{grad}}T} \right) + {S_{\rm{T}}} $

(10)

式(10)中：k表示导热系数，C_p表示恒压热容，T表示热力学温度，S_T为广义源项。

1.3 材料参数

模拟过程中使用的物料为水，1.2节里所涉及到的各个公式中的具体参数如表 1所示。

其中各参数函数式如式(11)~式(16)：

$ \begin{array}{l} {\rm{rho}}(T) = 0.00001034T3 - \\ 0.0134{T^2} + 4.9693T + 432.257 \end{array} $

(11)

$ \begin{array}{l} {\rm{eta}}(T) = 1.38 - 0.021{T^1} + 1.36E\\ - 4{T^2} - 4.65E - 7{T^3} + 8.9E - 10{T^4}\\ - 9.1E - 13{T^5} + 3.85E - 16{T^6} \end{array} $

(12)

$ \begin{array}{l} K(T) = - 0.87 + 0.0089{T^1} - 1.58E - \\ 5{T^2} + 7.97E - 9{T^3} \end{array} $

(13)

$ \begin{array}{l} {C_p}(T) = 12010.15 - 80.4{T^1} + 0.31{T^2} - \\ 5.38E - 4{T^3} + 3.63E - 7{T^4} \end{array} $

(14)

$ {\rm{alpha}} - p = - 1/{\rm{rho}}\left( T \right){\rm{ }}\cdot d[{\rm{rho}}\left( T \right), T] $

(15)

$ {\rm{gamma}} - w = 1 + [\frac{T}{{{C_p}\left( T \right)}}]{\rm{ }}\cdot{[{\rm{alph}}{{\rm{a}}_{\rm{p}}}\left( T \right)\cdot{\rm{cs}}\left( T \right)]^2} $

(16)

式(11)~式(16)中：T为开氏温度，K。

1.4 网格及无关性分析

连续流动微波反应器的网格划分如图 3所示。本研究在划分网格时，将流体管道划分为结构化的六面体网格，矩形腔体划分为非结构化的自由四面体网格。取同一时刻管道出口处平均温度作为考察对象，管内网格单元数对仿真结果的影响如图 4所示。

随着网格数量的增加，物料温度逐渐趋于稳定，当网格数量达到50万后，物料出口平均温度基本不发生变化，认为网格单元数50万左右即可满足模拟准确性的要求，此时六面体网格大小在0.36~3.00 mm范围内，四面体网格大小在1.799~15.000 mm范围内。本研究模拟过程中采用的网格数均为50万个左右。

1.5 加热效率与加热均匀性的计算方法

以出口处物料相对于入口处物料的温升与物料初始温度的比值来表示微波反应器的加热效果，记为，计算公式如式(17)：

$ \eta = \frac{{\nabla T}}{{{T_0}}} $

(17)

式(17)中：T为物料的温升，T₀为物料的初始温度。

在管道中选取7个截面，每个截面之间相距1.5 mm，通过计算不同截面温度之间的变异系数评价不同条件下反应器的加热均匀性，变异系数越小则说明加热越均匀。变异系数(COV)的计算由式(18)给出：

$ {c_{\rm{v}}} = \sigma /\mu $

(18)

式(18)中：c_v为变异系数；σ为物料不同截面平均温度的标准差；μ为物料不同截面的平均温度。

2 结果与分析 2.1 加热效果与加热均匀性随时间的变化

为了探究加热效果与加热均匀性随时间的变化情况，取管道位置、馈口位置、馈口功率以及物料流速不都相同的4个模型作为研究对象，各个模型的具体参数如表 2所示，各个模型下η与COV随时间的变化情况如图 5和图 6所示。

Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 4个模型物料加热效果η随时间的变化趋势如图 5所示。

图 5中不同模型下η曲线并不相同，但都随着时间的增长逐渐增大，最后稳定在1个数值水平。由于连续型反应器的物料是流动的，物料自流入反应器管道开始被加热，当到达管道出口时流出。随着时间的推移，反应器最终达到一个稳定的状态，此时η保持稳定。从图 5中可以看出不同模型下η达到稳定的时间均在90~100 s，因此后文不加特殊说明加热效果由100 s时的仿真结果计算所得。

图 6绘制了Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 4个模型下物料加热均匀性COV随时间变化的趋势。

从图 6中可以看出，不同模型下COV曲线也并不相同，Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ模型的变异系数随着时间的增加先是变大，达到1个峰值后略微减小，最终稳定在一个数值水平，而Ⅳ模型的变异系数随时间的增大逐步增大，最终稳定在1个数值。由于Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ模型有着相同的管道位置与馈口位置，则3个模型的电场中冷热点位置相同，那么变异系数变化趋势也会相似。而Ⅳ模型有着不同的管道位置与馈口位置，这就使的Ⅳ模型的电场中冷热点的分布与Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ模型的不同，从而变异系数变化趋势也不相同。从图 6中可以看出不同模型的COV曲线在80~100 s时均达到稳定，因此后文不加特殊说明加热均匀性由100 s时的仿真结果计算所得。

由于不同模型下物料的加热效果与加热均匀性均不相同，所以下文将会探究物料流速、馈口功率、管道位置与馈口位置对物料加热效果与加热均匀性的影响。

2.2 物料流速对加热效果和加热均匀性的影响

取管道高度h₀为30 mm，馈口高度h₁为70 mm的模型作为研究对象，探究连续型微波反应器物料流速对加热效果与加热均匀性(图 7和图 8)的影响。

在馈口功率为500 W，物料流速分别为0.015、0.020、0.025和0.030 m ·s^-1的模型下，η随着时间的变化情况如图 7a)所示。图 7b)绘制了η与物料流速的关系，也呈现出流速越小，温升越大的规律。

从图 7可以看出，在0~30 s时，不同流速下的η曲线大致相同。而在随后的时间里，不同流速条件下的η曲线在不同的时间点依次趋于平衡，并且呈现出物料流速越小，η趋于平衡的值越大，η值趋于平衡的时间点越长这样一个规律。因为当物料流速发生改变时，物料在反应器内的停留时间也将发生变化，流速越小，停留时间越长。而当反应器结构参数以及馈口功率不发生改变时，物料的停留时间越长，那么温升越高，η值越大，并且达到平衡的时间点也会越长。

在馈口功率为500 W，物料流速分别为0.015、0.020、0.025和0.030 m ·s^-1的模型下，变异系数随着时间的变化情况如图 8a)所示。图 8b)绘制了变异系数与物料流速的关系，同样呈现出流速越小，变异系数越大的规律。

图 8中不同流速条件下的COV曲线变化趋势大致相同，并且物料流速越小，COV值达到稳定的值越大，COV值达到稳定所需的时间越长。这同样是因为改变物料流速并不会改变电场分布与电场强度，所以电场的冷热点位置还是相同。由于流速越小的物料有着越大的停留时间，物料被加热的时间越长，则物料内部的冷热点温差越大，物料的变异系数也就越大，并且达到平衡所需的时间也会越长。

综上，在其他条件不变的情况下，物料流速越小，物料温升越高，加热均匀性越差。为使反应器能达到较高的温升以及较好的加热均匀性，后文的仿真工作的物料流速均设为0.02 m ·s^-1。

2.3 馈口功率对加热效果和加热均匀性的影响

取管道高度h₀为30 mm，馈口高度h₁为70 mm的模型作为研究对象，探究连续型微波反应器馈口功率对加热效果与加热均匀性(图 9和图 10)的影响。

在馈口功率为250、500、750和1 000 W的模型下，η随时间的变化情况如图 9 a)所示。图 9b)绘制了η与馈口功率的关系，可以看出η值的大小与馈口功率呈线性关系。

图 9中不同功率下的η曲线变化趋势相同，并且功率越大，同一时间下的η越大。这是因为在馈口位置以及管道位置不变的情况下增大馈口的功率，可以使腔内场强变高，从而使物料温升变大，η变大。同时从图 9中也可以看出对于不同馈口功率条件下的物料，其η值达到稳定数值的时间大致相同，均在60 s左右。由于反应器的几何参数并没有发生改变，并且几种功率条件下的物料均以相同的速度流入反应器管道内，所以物料从流入到流出管道的时间相同，不同功率条件下η值达到稳定数值的时间也大致相同。

图 10a)绘制了250、500、750和1 000 W这4个馈口功率下变异系数随时间的变化情况。图 10b)绘制了变异系数和馈口功率的关系，可以看出变异系数与馈口功率大致成线性关系。

从图 10中可以看出，不同功率下的COV曲线变化趋势大致相同，并且馈口功率越大，COV值达到稳定的值越大，COV值达到稳定所需的时间越长。因为馈口位置以及管道位置不变，所以电场的热点位置并没有发生变化，几种功率条件下电场的冷热点分布相同，所以不同功率下的变异系数曲线变化趋势大致相同。但功率越高，电场中冷热点区域物料温度相差越大，从而变异系数越大，最终达到稳定的时间越长。

综上，在其他条件不变的情况下，馈口功率越大，物料温升越高，加热均匀性越差。为使反应器能达到较高的温升以及较好的加热均匀性，后文的仿真工作的馈口功率均设为500 W。

2.4 电场、流场与温度场分布特性研究

如图 11所示，分别展示了h₀=30 mm、h₁=70 mm，h₀=-30 mm、h₁=10 mm和h₀=70 mm、h₁=60 mm 3个模型的腔内电场分布。可以看出腔内电场存在多个热点，整体呈现冷热点交替出现。而不同模型的电场分布也不相同，热点的位置会随着管道高度或馈口高度发生变化而变化。当馈口位置发生变化时，腔体内电场驻波形成的位置也会发生变化。而当管道位置发生变化时，腔内反射条件发生变化，进而使电场产生变化。

h₀=30 mm、h₁=70 mm，h₀=-30 mm、h₁=10 mm和h₀=70 mm、h₁=60 mm 3个模型管道内的电场分别如图 12所示。物料对微波的传播有阻碍作用，这使得管内的电场强度要低于管外的电场强度。3个模型的管道高度与馈口高度各不相同，所以管内电场分布也各不相同。

由图 12中可以看出，第1个与第3个电场分布较为均匀，而中间的电场存在场强远高于其他区域的点，即存在过热点，这对微波反应器的危害非常大，即使会带来较大的温升也应该放弃讨论这类模型。

h₀=30 mm、h₁=70 mm，h₀=-30 mm、h₁=10 mm和h₀=70 mm、h₁=60 mm 3个模型的流场(流场相同)与温度场分别如图 13和图 14所示。

从图 13中可以看出贴近管道弯曲处的物料比同截面的物料流速小，而温升高。由于物料在通过弯管处时，物料流动产生的扰动会增强径向运动，使贴近壁面的物料流速变小。而流速较小的区域，物料在电场中加热的时间更长，从而有相比于同截面流速较大的区域有更大的温升。

图 14中不同模型的温度分布也不相同。3个模型有着相同的管道以及相同的物料流速，所以流场分布相同，但由于电磁场分布各不相同，所以温度分布不同。虽然管内相对热点大致在同一位置，但同截面上物料的最大温差有明显差异，这也会导致加热均匀性的变化。所以当物料流动状态不变时，改变电磁场是提高加热均匀性较好的手段。

2.5 微波加热效果和加热均匀性的响应面分析

连续流动微波反应器在不改变腔体形状的基础上，可以改变的结构参数只有管道位置与馈口位置。由2.4节可知，改变任意1个结构参数都将会彻底改变腔体内电磁场的分布，所以单独考量管道位置与馈口位置不易寻找加热效果与加热均匀性的规律。本节通过改变管道高度与馈口高度对反应器模型进行二因素多水平的仿真试验，并对试验结果进行响应面分析。仿真试验结果如表 3和表 4所示。

对加热效果η的试验结果如表 3所示，响应面分析结果如图 15所示。在管道位置与馈口位置的相互影响下，η的响应面结果呈一定的对称性。从图 15中可以看出，在管道高度处于-70~-40 mm与40~70 mm这2个区间时，η相对具有较高的值，并且随着管道与馈口之间距离的增大，η逐渐变小，其中加热效果最好的部分集中在1和2两个位置。优化分析结果是当h₀=69.84 mm、h₁=60.08 mm时，η预测值达到最高的23.16%。为检测优化结果的准确性，对其进行仿真检验，得到的加热效果η为24.28%，比预测值高了1.12%，说明响应面分析对于物料温升的预测具有较大的参考价值。

对加热均匀性COV的试验结果如表 4所示，响应面分析结果如图 16所示。

从图 16中可以看出，COV的响应面结果也呈现对称性。当管道与馈口在相近平面时，具有较高的变异系数，而当管道与馈口相距较远时，变异系数则较低，这与加热效果η和管道与馈口之间距离的关系相似。图 9显示出变异系数最小的2个区域为位置3和4。根据优化分析的结果，当h₀=-38.88 mm、h₁=32.81 mm时，COV预测最低值为0.062%，对其进行仿真检验，得到变异系数为0.065%，与预测值的相对误差为4.6%，说明响应面分析对于加热均匀性的预测具有较大的参考价值。

根据对管道高度与馈口高度的响应面分析，发现很难在取得好的温升的同时保证加热的均匀性，因此在实际应用中应根据侧重点的不同选择合适的管道高度与馈口高度。

3 结论

设计了一种具有特殊形状管道的连续流动矩形微波反应器，运用多物理场耦合计算的方式，从馈口功率，馈口高度与管道高度3个方面对反应器的加热效果和加热均匀性进行了探究，得到如下结论：1)在其他条件不变的情况下，物料流速越小，物料η值与COV值达到稳定所需要的时间越长，物料温升越大，加热均匀性越差。2)不同馈口功率条件下，物料η值达到稳定的时间基本相同。而COV值达到稳定的所需时间随着馈口功率的变大而变长。在其他条件不变的情况下，馈口功率越大，物料温升越高，加热均匀性越差。3)由响应面分析发现η与COV的响应面结果都呈现对称性。同时发现随着管道与馈口之间距离的增大，物料温升逐渐变小。当管道与馈口在相近平面时，加热均匀性较差，而当管道与馈口相距较远时，加热均匀性则较好。4)通过响应面分析优化得到：当h₀=69.84 mm、h₁=60.08 mm时，可获得最好加热效果为24.28%，当h₀=-38.88 mm、h₁=32.81 mm时，变异系数最低达到0.065%，可以获得最佳的加热均匀性。

以上结论阐明了连续流动矩形微波反应器的管道高度与馈口高度对加热效果和加热均匀性影响的一般规律，为实际的反应器设计提供了重要的理论参考。